Question

12．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（Ⅰ）证明：DN∥平面PMB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点G，连接DG、NG，由N为PC中点，可得NG∥PB，进一步得到NG∥平面PMB，再由已知可得四边形BGDM为平行四边形，得DG∥MB，则DG∥平面PMB，由面面平行的判定可得平面DNG∥平面PMB，则DN∥平面PMB；
（2）由底面ABCD为平行四边形，且∠A=60°，得△ABD为正三角形，取AB中点H，连接DH，PH，结合PD⊥底面ABCD，可得∠PHD为二面角P-AB-D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-AB-D的余弦值．

解答 （1）证明：如图，
取BC中点G，连接DG、NG，∵N为PC中点，∴NG∥PB，则NG∥平面PMB，
∵AD∥BC，M为AD的中点，G为BC的中点，
∴MD∥BG，MD=BG，∴四边形BGDM为平行四边形，则DG∥MB，则DG∥平面PMB，
又NG∩DG=G，∴平面DNG∥平面PMB．
则DN∥平面PMB；
（2）解：∵底面ABCD为平行四边形，且∠A=60°，则△ABD为正三角形，
取AB中点H，连接DH，PH，∴DH⊥AB，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB，则AB⊥平面PDH，∴∠PHD为二面角P-AB-D的平面角．
设PD=CD=a，则DH=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，∴PH=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
则cos∠PHD=$\frac{DH}{PH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角P-AB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解答该题的关键，是中档题．