Question

2．在三棱锥P-ABC中，△PBC和△PAC是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，AB=2，D是AB中点．
（1）在棱PA上求一点M，使得DM∥面PBC；
（2）求证：面PAB⊥面ABC；
（3）求二面角P-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明DM∥PB，然后证明DM∥面PBC；
（2）连结CD，PD，证明PD⊥DC，PD⊥AB，说明PD⊥面ABC，然后证明面PAB⊥面ABC；
（3）取BC的中点E，连接DE，PE，说明∠PED是二面角P-BC-A的平面角，然后通过求解三角形即可得到结果．

解答 （1）证明：当M为棱PA中点时，DM∥面PBC，
因为D是AB中点，M是PA的中点，所以DM∥PB，
因为PB?面PBC，DM?面PBC，所以DM∥面PBC；
（2）证明：连结CD，PD，因为$AC=BC=\sqrt{2}$，D为AB中点，AB=2，
所以DC⊥AB，DC=1同理，PD⊥AB，PD=1．
又因为$PC=\sqrt{2}$，则PC²=PD²+DC²，所以∠PDC=90°，即PD⊥DC，
因为PD⊥AB，CD∩AB=D，所以PD⊥面ABC，因为PD?面PAB，
所以面PAB⊥面ABC；
（3）解：取BC的中点E，连接DE，PE，
因为$PB=PC=BC=\sqrt{2}$，所以PE⊥BC，且$PE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
因为DC=DB，所以DE⊥BC，则∠PED是二面角P-BC-A的平面角，
因为PD⊥面ABC，所以∠PDE=90°，
故$sin∠PED=\frac{PD}{PE}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角以及直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．