Question

17．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，E、F为线段B₁D₁的两个动点，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，给出下列四个命题：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③点B到平面AEF的距离为定值；
④异面直线AE与BF所成的角为定值．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个．

Answer 1

分析 ①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；
②EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义请线面平行；
③三棱锥A-BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值，根据等积法可得答案；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是定值

解答 解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；
③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，
又由△AEF的面积为定值，可得点B到平面AEF的距离为定值，此命题正确；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．
综上知①②③正确
故选：B．

点评 本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．