Question

7．设f（x）=x-alnx．（a≠0）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥a²，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知，f（x）有最小值f（a）=a-alna，得到1-lna≥a，构造函数g（a）=1-lna-a，根据函数的单调性求出a的范围，
当a＜0，由由f（x）在（0，+∞）单调递增，于是得到当x∈（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）时，f（x）＜0，则此时不成立．

解答 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=x-alnx，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
当a＞0时，当0＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，
∴f（x）的递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
当a＜0时，f'（x）＞0，f（x）的递增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）（1）当a＞0时，由（Ⅰ）知，f（x）有最小值f（a）=a-alna，
于是f（x）≥a²，当且仅当f（a）≥a²，即1-lna≥a，
设g（a）=1-lna-a，则g（a）在（0，+∞）上为减函数，
又g（1）=0，
∴当且仅当0＜a≤1时，g（a）≥0，即f（x）≥a²，当且仅当a=1时等号成立，
（2）当a＜0时，由f（x）在（0，+∞）单调递增，
当x∈（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）时，f（x）＜f（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）=${e}^{\frac{1}{4}}$-1＜0，则f（x）≥a²不成立，
综上所述a的取值范围为（0，1]

点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题