Question

18．给定正奇数n，数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，定义E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|为数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和．
（Ⅰ）当n=5时，则数列{a_n}：1，3，4，2，5的位差和为4；
（Ⅱ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，则满足条件的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的个数为$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．；（用n表示）

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a₁，a₃，a₄，a₂，a₅分别代入E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|进行解答即可；
（Ⅱ）分两种情况进行讨论：当a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）时和当a_i，a_i+1，a_i+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）；

解答 解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；
（II）若数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，有如下两种情况：
情况一：当a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，
其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）时，
有（n-3）+（n-4）+…+2+1=$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$种可能；
情况二：当a_i，a_i+1，a_i+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，
其他项a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）时，有3（n-2）种可能；
综上，满足条件的数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的个数为$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$+3（n-2）=$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．
故答案为：（I）4；（II）$\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$

点评 本题考查了新定义“位差和”、等差数列的前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．