Question

6．给定椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），称圆x²+y²=a²+b²为椭圆E的“伴随圆”．
已知椭圆E中b=1，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=$\sqrt{13}$时，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x²+y²=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圆心O到CD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．设直线l的方程为：y=kx+b，则由$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），代入椭圆方程，根据弦长公式及基本不等式的性质，即可求得弦长|AB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，
∴椭圆E的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x²+y²=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圆心O到CD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设直线l的方程为：y=kx+b，则由$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+3k²）x²+6bkx+3b²-3=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}}$，
=$\sqrt{3+\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}}$，
=$\sqrt{3+\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$，
≤$\sqrt{3+\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+6}}$=2，当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取等号，
弦长|AB|的最大值2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，弦长公式及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．