Question

15．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，则$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$得出$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，判断四边形OBAC是平行四边形，
结合$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|得到四边形OBAC是边长为2的菱形且∠ABO=∠AC0=60°，
再利用向量投影的定义即可算出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴四边形OBAC是平行四边形，如图所示；
又∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=2，
又$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，
∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，
|$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$；
∴向量$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影为：
|$\overrightarrow{CB}$|cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故选：D．

点评 本题考查了三角形外接圆的向量表示以及求向量的投影问题，着重考查了向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用问题，是综合性题目．