Question

4．在直角坐标系xoy中，点P到两点$（-2\sqrt{2}，0）$、$（2\sqrt{2}，0）$的距离之和等于6，设点P的轨迹为曲线C，直线x-my-1=0与曲线C交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆过坐标原点，求m的值；
（Ⅲ）当实数m取何值时，△AOB的面积最大，并求出面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的定义即可得出．
（II）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立消去x并整理得（m²+9）y²+2my-8=0，判别式△＞0，以线段AB为直径的圆过坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0．利用根与系数的关系代入即可得出．
（III）直线x-my-1=0与x轴相交于点M（1，0），可得S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．利用$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，点P的轨迹C是以$（-2\sqrt{2}，0）$、$（2\sqrt{2}，0）$为焦点，长半轴为3的椭圆．
它的短半轴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{9-8}=1$，
故曲线C的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+9{y^2}=9\\ x=my+1\end{array}\right.$，消去x并整理得（m²+9）y²+2my-8=0，
判别式△＞0，∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+9}}$，${y_1}•{y_2}=-\frac{8}{{{m^2}+9}}$．
若以线段AB为直径的圆过坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0.${x_1}•{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）={m^2}•{y_1}{y_2}+m•（{y_1}+{y_2}）+1$，${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{m^2}+1）•{y_1}{y_2}+m•（{y_1}+{y_2}）+1=（{m^2}+1）•（-\frac{8}{{{m^2}+9}}）+m•（-\frac{2m}{{{m^2}+9}}）+1$．
∴$（{m^2}+1）•（-\frac{8}{{{m^2}+9}}）+m•（-\frac{2m}{{{m^2}+9}}）+1=0$$⇒-8（{m^2}+1）-2{m^2}+（{m^2}+9）=0⇒-9{m^2}+1=0⇒m=±\frac{1}{3}$．
（III）直线x-my-1=0与x轴相交于点M（1，0），∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$=$（-\frac{2m}{{m}^{2}+9}）^{2}$-4×$\frac{-8}{{m}^{2}+9}$=$\frac{36（{m}^{2}+8）}{（{m}^{2}+9）^{2}}$=$36[-（\frac{1}{{m}^{2}+9}）^{2}+\frac{1}{{m}^{2}+9}]$，令$\frac{1}{{m}^{2}+9}$=t∈$（0，\frac{1}{9}]$，
则$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=36$[-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，当t=$\frac{1}{9}$时，$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$取得最大值$\frac{36×8}{81}$，∴|y₁-y₂|的最大值为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴△AOB的面积的最大值为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．由$\frac{1}{{m}^{2}+9}=\frac{1}{9}$，解得m=0．
即m=0时，△AOB的面积的最大值为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、二次函数的单调性、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．