Question

16．设函数f（x）=sinx-cosx+x+1．
（Ⅰ）当x∈[0，2π]，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-ax在[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求解得出f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），列表判断单调性，极值．
（II）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函数，
知y′=cosx+sinx=1-a≥0恒成立，根据[0，π]上，利用三角函数性质判处最值即可判断．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]，
知 f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
令f′（x）=0从而sin（x+$\frac{π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$得x=π或x=$\frac{3π}{2}$

x	（0，π）	π	（π，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	π+2	单调递减	$\frac{3π}{2}$	单调递增

因此，由上表知f（x）的单调递增区间是（0，π）与（$\frac{3π}{2}$，2π），
单调递减区间是（π），$\frac{3π}{2}$，），极小值为f（π）=π+2
（Ⅱ）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函数，
知y′=cosx+sinx+1-a≥0恒成立，
即a-1≤cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）恒成立，
∵x∈[0，π]，$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x$+\frac{π}{4}$）≤1，
-1≤$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$
只需a-1≤-1成立，即a≤0．

点评 本题综合考查了导数在解决函数最值，单调性中的运用，考查了综合运用知识的能力，属于中档题．