Question

11．已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若以$\overrightarrow{AB}$为直径的圆过原点O，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，根据直线，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，求出A，B的坐标，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，即可求圆C的方程．

解答 解：（1）因为2²+4²-4a＞0，所以a＜5．
因为M（0，1）在圆C内，所以1²-4+a＜0，所以a＜3．
综上知a＜3…（3分）
因为弦AB的中点为M（0，1），所以直线l⊥CM．
因为k_CM=-1，所以k_l=1．
所以直线l的方程为y=x+1…（7分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，故${x_1}=\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，x₂=-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$．
不妨设A（$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1），B（-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1）…（10分）
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，故a=2…（13分）
故圆C：x²+y²+2x-4y+2=0…（14分）

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．