Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，直线x+2y-1=0经过椭圆的一个焦点；
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F的直线l（与坐标轴均不垂直）交椭圆于A、B两点，点B关于x轴的对称点为P；问直线AP是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出c，通过离心率求出a，求出b，即可得到椭圆的方程．
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过点B关于x轴的对称点为P，列出关系式，利用直线系，推出定点坐标．

解答 解：（1）椭圆焦点在x轴上，直线与x轴交于点（1，0），c=1；
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$a=2，b=\sqrt{3}$
所求椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…．（4分）
（2）设直线l：x=my+1；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₂，-y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ 3{x^2}+4{y^2}-12=0\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$，知：2my₁y₂=3（y₁+y₂）…（6分）
直线$AP：y+{y_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_2}）$，
∴m（y₁-y₂）y+2my₁y₂+（y₁+y₂）-（y₁+y₂）x=0
即：m（y₁-y₂）y+4（y₁+y₂）-（y₁+y₂）x=0，
∴m（y₁-y₂）y-（y₁+y₂）（x-4）=0
所以：直线l恒过点（4，0）…..（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．