Question

18．如图四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且NB=MD=2，E为BC的中点．
（I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（II）求二面角N-AM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间直角坐标D-xyz，求出两条异面直线上的两个向量的坐标，求出这两个向量所成的角的余弦值，再取绝对值，即得异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面AMN的法向量和平面AMD的法向量，利用向量法能求出二面角N-AM-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D-xyz，
依题意，得D（0，0，0），A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），
B（2，2，0），N（2，2，2），E（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{NE}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，2），
∵cos＜$\overrightarrow{NE}$，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{NE}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$•
（Ⅱ）$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AN}$=（0，2，2），
设平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面AMD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角N-AM-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角N-AM-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．