Question

8．计算C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2^n-1=n（1+2）^n-1，可以采用以下方法：
构造恒等式：C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$2x+C${\;}_{n}^{2}$2²x²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ
两边对x导，得C${\;}_{n}^{1}$2+2•C${\;}_{n}^{2}$2²x+••+n•C${\;}_{n}^{n}$2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1
在上式中令x=1，得C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2^n-1=n（1+2）^n-1=n•3^n-1，
类比上述计算方法，计算C${\;}_{n}^{1}$2+2²C${\;}_{n}^{2}$2²+3²C${\;}_{n}^{3}$2³+…+n²C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ=2n（2n+1）3^n-2．

Answer 1

分析 构造恒等式C_n⁰+C_n¹2x+C_n²2²x²+…+C_nⁿ2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ，两边对x求导，得C_n¹2+2•C_n²2²x+…+n•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1，两边同乘以x，得C_n¹2x+2•C_n²2²x²+…+n•C_nⁿ2ⁿxⁿ=2nx（1+2x）^n-1，再两边对x求导，x=1，得结论

解答 解：构造恒等式C_n⁰+C_n¹2x+C_n²2²x²+…+C_nⁿ2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ，
两边对x求导，得C_n¹2+2•C_n²2²x+…+n•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1，
两边同乘以x，得C_n¹2x+2•C_n²2²x²+…+n•C_nⁿ2ⁿxⁿ=2nx（1+2x）^n-1，
再两边对x求导，得C_n¹2+2²•C_n²2²x+…+n²•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（2n+1）（1+2x）^n-2，
在上式中令x=1，得C_n¹2+2²C_n²2²+3²C_n³2³+…+n²C_nⁿ2ⁿ=2n（2n+1）3^n-2．
故答案为：2n（2n+1）3^n-2

点评 本题考查了归纳推理，要掌握其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．