Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：PB⊥平面ADMN；
（2）求BD与平面ADMN所成的角；
（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A-CD-E为45°．

Answer 1

分析 （1）推导出AN⊥PB，AD⊥PB，由此能证明PB⊥平面ADMN．
（2）连结DN，则∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，由此能求出BD与平面ADMN所成的角．
（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，则∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角，由此能求出当$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$时，二面角A-CD-E的平面角为45°．

解答 证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，
∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面
∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．
∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．
又∵AD∩AN=N
∴PB⊥平面ADMN．（4分）
解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．
在Rt△BDN中，$sin∠BDN=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BD与平面ADMN所成的角是$\frac{π}{6}$．（8分）
（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，
∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA
∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF
∴∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角
若∠AFE=45°，则AE=AF
由 AF•CD=AB•AD，可解得$AF=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
∴当$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$时，二面角A-CD-E的平面角为45°．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．