Question

9．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|≠0，且函数在f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}$$+（\overrightarrow a•\overrightarrow b）x$在R上有极值，则向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角的取值范围是（$\frac{π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 由已知条件得f′（x）=x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0成立，△=|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，由此能求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的取值范围．

解答 解：∵关于x的函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x在R上有极值，
∴f′（x）=x²+|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0成立，方程有根，
△=|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，
∴|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ＞0，
由|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|≠0，得cosθ$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ＜π
故答案为：（$\frac{π}{3}$，π）．

点评 本题考查向量的夹角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．