Question

14．已知圆F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圆心为F₁，定点F₂（$\sqrt{3}$，0），P为圆F₁上一点，线段PF₂的垂直平分线与直线PF₁交于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A和B，且满足∠AOB＜90°（O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由圆F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圆心为F₁（-$\sqrt{3}$，0），由由|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|PF₁|=4＞丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，Q的轨迹C是以，长半轴长为2，${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$为焦点的椭圆，即可求得点Q的轨迹C的方程；
（2）设直线AB的方程为：y=kx+2，代入椭圆方程，△＞0，解得${k^2}＞\frac{3}{4}$．由$∠AOB＜\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，即x₁x₂+y₁y₂＞0，解得k²＜4，根据韦达定理及弦长公式可知$|AB|=\frac{{4\sqrt{（4{k^2}-3）（1+{k^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，设1+4k²=t∈（4，17），即可求得直线l斜率的取值范围．

解答 解：（1）圆F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，圆心为F₁（-$\sqrt{3}$，0），
由|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|PF₁|=4＞丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，
∴Q的轨迹C是以${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$为焦点，长半轴长为2的椭圆，
点Q的轨迹C的方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由题可得直线l存在斜率，设其方程为y=kx+2，设直线l与曲线C交于不同的两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，则有△＞0，解得${k^2}＞\frac{3}{4}$．
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$
由$∠AOB＜\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，解得k²＜4．…（8分），
根据弦长公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$|AB|=\frac{{4\sqrt{（4{k^2}-3）（1+{k^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，设1+4k²=t∈（4，17），
则$|AB|=2\sqrt{-\frac{12}{t^2}-\frac{1}{t}+1}∈（0，\frac{{4\sqrt{65}}}{17}）$，
直线l斜率的取值范围（0，$\frac{4\sqrt{65}}{17}$）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．