Question

12．已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），a∈R
（1）若a=0时，求f（x）在x=1处的切线
（2）若函数f（x）＞0 对?x∈（1，+∞）恒成立．求a的取值范围
（3）从编号为1到2015的2015个小球中，有放回地连续取16次小球 （每次取一球），记所取得的小球的号码互不相同的概率为p，求证：$\frac{1}{p}$＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$．

Answer 1

分析 （1）求出导数，可得切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）由题意可得（x+1）lnx-a（x-1）＞0 对x∈（1，+∞） 恒成立，即lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$＞0对x∈（1，+∞）  恒成立．令g（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x∈（1，+∞），求出导数，令h（x）=x²+（2-2a）x+1，（x＞1），对a讨论，求出单调性，即可得到a的范围；
（3）求出p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$，由2000×2014＜2007²，…，2006×2008＜2007²，运用累乘法
再由（2）得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），令x=$\frac{2015}{2007}$，即可得证．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=（x+1）lnx，f（1）=0，
f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，f′（1）=2，
所以f（x）在x=1处的切线为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0 …（2分）
（2）由题意（x+1）lnx-a（x-1）＞0 对x∈（1，+∞） 恒成立，
即lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$＞0对x∈（1，+∞）  恒成立．
g（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x∈（1，+∞），
g′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-2a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，（x＞1）
令h（x）=x²+（2-2a）x+1，（x＞1），
①当a≤2 时，h（x）的对称轴为x=a-1≤1
则h（x） 在（1，+∞）上递增，
即h（x）＞h（1）=4-2a≥0，所以g′（x）＞0（x＞1）恒成立，
则g（x）在（1，+∞）上递增，g（x）＞g（1）=0恒成立，符合要求；
 ②a＞2时，△=（2-2a）²-4=4a（a-2）＞0，
 且h（1）=4-2a＜0，则h（x）=0（x＞1）有唯一根x=x₀，
 则x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，
则g（x）在（1，x₀）上递减，
即有?x∈（1，x₀），g（x）＜g（1）=0，
这与g（x）＞0（x＞1）恒成立矛盾．舍去．
综上：a≤2…（8分）
（3）p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$，
由2000×2014＜2007²，…，2006×2008＜2007²，
 可得p=$\frac{2015×2014×…×2000}{201{5}^{16}}$＜$\frac{200{7}^{15}}{201{5}^{15}}$，
又由（2）得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
则ln$\frac{2015}{2007}$＞$\frac{2（\frac{2015}{2007}-1）}{\frac{2015}{2007}+1}$=$\frac{8}{2011}$，
则$\frac{2015}{2007}$＞e${\;}^{\frac{8}{2011}}$，（$\frac{2015}{2007}$）¹⁵＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$
 故$\frac{1}{p}$＞（$\frac{2015}{2007}$）¹⁵＞e${\;}^{\frac{120}{2011}}$…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法和不等式证明，注意运用转化思想和构造函数法，属于难题．