Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，在下列结论中：
①直线CD⊥平面A′BD；
②平面A′BC⊥平面BCD；
③点B到平面A'CD的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；
④棱A′C上存在一点到顶点A'、B、C、D的距离相等．
所有正确结论的编号是①②④．

Answer 1

分析 根据面面垂直的性质定理，可判断①；根据面面垂直的判定定理，可判断②；利用等体积法，求出点B到平面A'CD的距离，可判断③；根据直角三角形的性质，可判断④．

解答 解：∵在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥BD，BD⊥CD，
将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′-BCD后，
∵平面A′BD⊥平面BCD，
∴直线CD⊥平面A′BD；
故①正确；
同理：A′B⊥平面BCD，
由A′B?平面A′BC得：
平面A′BC⊥平面BCD，
故②正确；
棱锥A′-BCD的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，
△A'CD的面积S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设点B到平面A'CD的距离为h，则$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$h=$\frac{1}{6}$，
解得：h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故③错误；
棱A′C的中点到顶点A'、B、C、D的距离相等．
故④正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥的结构特征，平面与平面垂直的判定与性质，等体积法，难度中档．