Question

12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，则实数a的值为2．

Answer 1

分析 先根据题意设h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，再求出其导数结合f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），判断出函数是增函数，然后根据$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$求出a的数值即可得到答案．

解答 解：根据题意可得：g（x）≠0，所以设h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
则h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$=a^xlna
因为f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
所以h′（x）＞0，
所以函数h（x）是定义在R上的增函数．
又因为$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
所以a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$
即2a²-5a+2=0，
所以a=2或a=$\frac{1}{2}$，
所以a=2．
故答案为2．

点评 本题考查导数的运算、导数与函数的单调性，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题