Question

20．已知椭圆的左右焦点分别为$（-\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，0）$，点$A（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$在椭圆C上，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P
（1）求椭圆C的方程
（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标
（3）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由已知可得P的坐标，根据圆P与x轴相切求得x，则圆的半径的表达式可得，进而求得t，则点P的坐标可得；
（3）由（2）知圆P的方程，把点Q代入圆的方程，求得y和t的关系，设t=cosθ，利用两角和公式化简整理，再由正弦函数的性质求得y的最大值．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{3{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，得x=±$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，∴圆P的半径为$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，
则有t²=3（1-t²），
解得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴点P的坐标是（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）由（2）知，圆P的方程x²+（y-t）²=3（1-t²）．
∵点Q（x，y）在圆P上．∴y=t±$\sqrt{3（1-{t}^{2}）-{x}^{2}}$≤t+$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$，
设t=cosθ，θ∈（0，π），则t+$\sqrt{3（1-{t}^{2}）}$=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴当θ=$\frac{π}{3}$，即t=$\frac{1}{2}$，且x=0时，y取最大值2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．