Question

10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于高为$\sqrt{2}$的圆柱中，已知∠ACB=90°，AA₁=$\sqrt{2}$，BC=AC=1，O为AB的中点．求：
（1）圆柱的全面积；
（2）异面直线AB′与CO所成的角的大小；
（3）求直线A′C与平面ABB′A′所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）求出底面半径为：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求圆柱的全面积；
（2）利用CO⊥平面ABB′A′，即可求出异面直线AB′与CO所成的角的大小；
（3）判断∠CA′O为直线A′C与平面ABB′A′所成的角，即可求直线A′C与平面ABB′A′所成的角的大小．

解答 解：（1）根据题意：底面半径为：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=2πr²+2πrh=3π；
（2）∵CO⊥平面ABB′A′
∴CO⊥AB′
∴∠COO′=90°
∴异面直线AB′与CO所成的角是90°；
（3）∵CO⊥平面ABB′A′，
∴∠CA′O为直线A′C与平面ABB′A′所成的角，
∵CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A′C=$\sqrt{3}$，
∴sin∠CA′O=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴∠CA′O=arcsin$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查空间角，考查全面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．