Question

5．已知函数f（x）=x³-3ax²+3a²x-a³（a∈R）的图象关于点（1，0）成中心对称．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x）-2x²在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（1+x）=-f（1-x）⇒6（1-a）x²+12（a-1）x+（2-a）³-a³=0对x∈R恒成立，即可求a．
（2）利用导数求函数单调区间，再求最值即可．

解答 解：（1）法1：化简f（x）得f（x）=（x-a）³　（1分）
由f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（1+x）=-f（1-x）…（2分）
即f（x）=-f（2-x）…，代入f（x）得（x-a）³+（2-x-a）³=0，整理得：
6（1-a）x²+12（a-1）x+（2-a）³-a³=0对x∈R恒成立，则
$\left\{\begin{array}{l}{6-6a=0}\\{12a-12=0}\\{（2-a）3-a3=0}\end{array}\right.∴a=1，\\;f（x）=（x-1）^{3}$　（6分）
法2：f（x）=x³是奇函数，f（x）=（x-a）³
是将f（x）的图象向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，
由题意平移后的图象关于点（1，0）成中心对称，故a=1．
（2）g（x）=f（x）-2x²=（x-1）³-2x²，
∵g′（x）=3x²-10x+3=0，∴${x}_{1}=\frac{1}{3}，{x}_{2}=3$，又x∈[-1，1]，
则x∈[-1，$\frac{1}{3}$]时g（x）递增，x∈[$\frac{1}{3}，1$]时g（x）递减，故g（x）_max=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{14}{27}$，
g（-1）=-10，g（1）=-2，∴g（x）_min=-10．（10分）
综上，g（x）_max=$\frac{14}{27}$，g（x）_min=-10．（12分）

点评 本题考查了函数的对称性及最值，关键是把对称的定性描述转化为定量运算，属于基础题．