Question

15．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{1}{16}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）定长为2的线段MN的两端点在抛物线E上移动，O为坐标原点，点P满足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，求点P到y轴距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中的准线方程，求出p值，可得抛物线的方程；
（2）先设出M，N的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出$\frac{|MF|+|NF|}{2}$的最小值即可．

解答 解：（1）∵抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{1}{16}$．
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{16}$，
解得：p=$\frac{1}{8}$，
即抛物线E的方程为：y²=$\frac{1}{4}$x；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵点P满足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，故P为MN的中点，
P到y轴距离S=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{|MF|+|NF|}{2}$-$\frac{1}{16}$≥$\frac{|MN|}{2}$-$\frac{1}{16}$=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
当且仅当M，N过F点时取等号，

点评 本小题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．