Question

8．已知椭圆E的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）和N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点F（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），过点F作直线l交椭圆E于AB两点，以AB为直径的圆交y轴于P、Q两点，劣弧长PQ记为d，求$\frac{d}{|AB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）不妨设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距为c．由已知条件，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由点F（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l方程为：my=x-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，联立直线与椭圆方程，消去x整理可知：（m²+2）y²+$\frac{2\sqrt{2}m}{3}y$-$\frac{16}{9}$=0，AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，可得线段AB的中点T，⊙T的半径为r=$\frac{1}{2}$|AB|．经过点T作TE⊥y轴，垂足为E，设∠QTE=θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．$\frac{d}{|AB|}$=θ，计算cosθ=$\frac{{x}_{T}}{\frac{1}{2}|AB|}$，利用函数的单调性进而得出．当AB与x轴重合时，AB与椭圆的长轴重合．

解答 解：（1）不妨设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距为c．
由已知条件，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=2，b=1．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由点F（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l方程为：my=x-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
联立直线与椭圆方程，消去x整理可知：（m²+2）y²+$\frac{2\sqrt{2}m}{3}y$-$\frac{16}{9}$=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{3（{m}^{2}+2）}$，y₁y₂=$\frac{-16}{9（{m}^{2}+2）}$．
|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{m}^{2}）（18{m}^{2}+32）}}{3（{m}^{2}+2）}$，
则线段AB的中点T$（\frac{2\sqrt{2}}{3{m}^{2}+6}，\frac{-\sqrt{2}m}{3{m}^{2}+6}）$，⊙T的半径为r=$\frac{1}{2}$|AB|．
经过点T作TE⊥y轴，垂足为E，设∠QTE=θ∈$（0，\frac{π}{2}]$．
则$\frac{d}{|AB|}$=$\frac{r•2θ}{2r}$=θ，
cosθ=$\frac{{x}_{T}}{\frac{1}{2}|AB|}$=$\frac{2{x}_{T}}{|AB|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{（1+{m}^{2}）（18{m}^{2}+32）}}$，
令m²=t≥0，g（t）=（1+t）（18t+32）=18t²+50t+32≥32，
∴cosθ≤$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{32}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ∈$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
当AB与x轴重合时，AB与椭圆的长轴重合，此时劣弧长PQ=πr，则$\frac{d}{|AB|}$=$\frac{π}{2}$．
综上可得：$\frac{d}{|AB|}$的最大值为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．