Question

13．已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）+mx²-4x在定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若b＞a＞0，求证：f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）g（x）=f（x）+mx²-4x=lnx+mx²-4x在定义域内单调递增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上单调递增，即可求实数m的取值范围．
（2）欲证f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，即证$lnb-lna=ln\frac{b}{a}＞\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{2（\frac{b}{a}）-2}{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$
令$t=\frac{b}{a}＞1$，即证lnt＞$\frac{2t-2}{1+{t}^{2}}$，即证（1+t²）lnt＞2t-2当t＞1时恒成立
构造函数F（t）=（1+t²）lnt-2t+2即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+mx²-4x=lnx+mx²-4x （x＞0）
则g′（x）$\frac{1}{x}+2mx-4$≥0在（0，+∞）上恒成立，即2m≥$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$恒成立
∵$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=-（\frac{1}{x}-2）^{2}+4≤4$∴m≥2．
（2）欲证f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，即证$lnb-lna=ln\frac{b}{a}＞\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{2（\frac{b}{a}）-2}{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$
令$t=\frac{b}{a}＞1$，即证lnt＞$\frac{2t-2}{1+{t}^{2}}$，即证（1+t²）lnt＞2t-2当t＞1时恒成立
构造函数F（t）=（1+t²）lnt-2t+2
求导$F′（t）=2tlnt+t+\frac{1}{t}-2$
∵t＞1∴2tlnt＞0，∵$t+\frac{1}{t}-2＞0$，所以F′（t）＞0当t＞1时恒成立
所以F（t）在（1，+∞）单调递增
所以F（t）＞F（1）=0恒成立．
故不等式（1+t²）lnt＞2t-2得证，所以f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．成立．

点评 本题考查了已知单调性，求参数取值的基本方法，同时考查了证明函数不等式的构造新函数法，属于难题．