Question

3．已知函数f（x）是定义在区间[-2，2]的奇函数，若f（x）+x•f′（x）＞0，则不等式（-x+1）•f（1-x）＞0的解集是[-1，1）．

Answer 1

分析 构造函数，设g（x）=xf（x），求导，根据题意得到函数g（x）为增函数，则求出g（0）=0，则不等式（-x+1）•f（1-x）＞0转化为g（-x+1）＞g（0），根据函数的单调性和函数的定义域即可求出不等式的解集．

解答 解：设g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴g（x）在[-2，2]上为增函数，
∵函数f（x）是定义在区间[-2，2]的奇函数，
∴g（0）=0×f（0）=0
∵（-x+1）•f（1-x）＞0
∴g（-x+1）＞g（0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-x+1≤2}\\{-x+1＞0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x＜1，
故不等式的解集为[-1，1），
故答案为[-1，1）．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的应关系，以及不等式的解集的求法，关键是构造函数，属于中档题．