Question

8．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$kx²-2x+2，f′（x）是的导函数．
（1）求f′（x）的单调区间；
（2）若k=1，证明：当x＞0时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，f'（x）=e^x-kx-2，设g（x）=f'（x），则有g'（x）=e^x-k；再对k分类讨论，判断函数单调区间；
（2）若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上递增，存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；

解答 解：（I）f'（x）=e^x-kx-2，设g（x）=f'（x），则有g'（x）=e^x-k；
①当k≤0时，g'（x）＞0；
②当k＞0时，由g'（x）＞0得，x＞lnk；
由g'（x）＜0得，x＜lnk．
当k≤0时，f'（x）的递增区间为R；
当k＞0时，f'（x）的递增区间为（lnk，+∞），递减区间为（-∞，lnk）．
（II）证明：若k=1，由（I）知g（x）在（0，+∞）上递增，
g（1）=e-3＜0，g（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；
且当x＞x₀，g（x）＞0，当x＜x₀时，g（x）＜0；
∴f（x）的递增区间为（x₀，+∞），递减区间为（0，x₀），
∴f（x）≥f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2$；
由g（x₀）=0得${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，∴f（x₀）=-$\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+4$
由x₀∈（1，2）得f（x₀）＞0，
∴f（x）＞0．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数单调性，以及分类讨论思想应用，属中等题．