Question

19．已知函数$f（x）=sinx-\frac{1}{2}x$，x∈[0，π]．那么下列命题中所有真命题的序号是①④．
①f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
②f（x）的最小值是$f（\frac{π}{3}）$
③f（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上是减函数        
④f（x）在$[\frac{π}{3}，π]$上是减函数．

Answer 1

分析 先求导，再研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题

解答 解：∵f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x，x∈[0，π]，
∴f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{π}{3}$，
当f′（x）＞0时，解得0≤x≤$\frac{π}{3}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，解得$\frac{π}{3}$≤x≤π，函数单调递减，
∴当x=$\frac{π}{3}$时，函数取的最大值，即f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
∵f（0）=sin0-0=0，f（π）=sinπ-$\frac{1}{2}$π=-$\frac{1}{2}$π，
∴函数的最小值为f（π）=-$\frac{1}{2}$π，
故所有真命题的序号是①④，
故答案为；①④．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是掌握住用导数判断函数的单调性及求最值，由这些结论对四个命题的正确性进行验证得出正确选项．