Question

9．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60°，若球半径为3，则弦AB的长度为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 可设棱长为x、列出方程求解．关键就是确定出球心的位置．

解答 解：如图，在正四面体ABCD中、作AO₁⊥底面BCD于O₁，则O₁为△BCD的中心．
∵OA=OB=OC=OD=3，
∴球心O在底面的射影也是O₁，于是A、O、O₁三点共线．
设正四面体ABCD的棱长为x，
则AB=x，BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，AO₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}x$，
∵OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{2}}$
又OO₁=AO₁-AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}x-R$
由此解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R=2\sqrt{6}$，
故正四面体ABCD的棱长，即弦AB的长度为2$\sqrt{6}$．
故答案为$2\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查①一个多面体的所有顶点在一个球面上，则称这个多面体内接于一个球，这个球也叫做多面体的外接球；②有关外接球的问题常常利用它的轴截面来解决．属于中档题．