Question

4．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$（e为自然对数的底数）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：当x＞0时，f（x）＞$\frac{x}{x+2}$恒成立；
（3）已知k＞0，如果当x＞0时，f（x）＞$\frac{kx}{{e}^{x}+1}$恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）分离常数发化简函数f（x），求出f′（x）计算切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）x＞0时化简不等式f（x）＞$\frac{x}{x+2}$，构造函数h（x）=e^x-x-1，x＞0，利用导数判断h（x）单调性与最值，从而证明不等式恒成立；
（3）x＞0时化简f（x）＞$\frac{kx}{{e}^{x}+1}$，构造函数p（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，利用导数判断p（x）的单调性与最值，从而求出k的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
∴f′（x）=-$\frac{{-2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$=$\frac{{2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$，
∴f′（0）=$\frac{2}{{（1+1）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
且f（0）=$\frac{1-1}{1+1}$=0，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为
y-0=$\frac{1}{2}$（x-0），
即y=$\frac{1}{2}$x；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞$\frac{x}{x+2}$=$\frac{x+2-2}{x+2}$=1-$\frac{2}{x+2}$，
∴1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$＞1-$\frac{2}{x+2}$，
∴$\frac{1}{{e}^{x}+1}$＜$\frac{1}{x+2}$，
∴e^x+1＞x+2，
即e^x＞x+1；
设h（x）=e^x-x-1，x＞0，
则h′（x）=e^x-1＞e⁰-1=0，
∴h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=e⁰-0-1=0，
即e^x-x-1＞0，
∴e^x＞x+1；
即x＞0时，f（x）＞$\frac{x}{x+2}$恒成立；
（3）当x＞0时，f（x）＞$\frac{kx}{{e}^{x}+1}$，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$＞$\frac{kx}{{e}^{x}+1}$，
即e^x-1＞kx，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞k；
设p（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，
则p′（x）=$\frac{{xe}^{x}-{（e}^{x}-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{{xe}^{x}{-e}^{x}+1}{{x}^{2}}$；
令p′（x）=0，解得x=0，
∴x＞0时，p′（x）＞0恒成立，
∴p（x）＞p（0）；
又x＞0时，e^x＞x+1，
∴e^x-1＞x+1-1=x，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，
∴k的最大值是1．

点评 本题考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程以及证明不等式恒成立问题，也考查了构造函数与求函数最值问题，是综合性题目．