Question

14．已知函数f（x）=x²e^x，则f（x）的极大值为$\frac{4}{{e}^{2}}$，若f（x）在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（-3，-2）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 ①f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，令f′（x）=0，解得x=0，-2，列出表格可得单调性极值．
②由表格可知：函数f（x）在（-2，0）上单调递减，（-∞，-2），（0，+∞）上单调递增，由于函数f（x）=x²e^x在区间[t，t+1]上不单调，可得t＜-2＜t+1或t＜0＜t+1，解出即可得出．

解答 解：①f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，-2，
可得：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：x=-2时，函数f（x）取得极大值，f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
②由表格可知：函数f（x）在（-2，0）上单调递减，（-∞，-2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或-2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x²e^x在区间[t，t+1]上不单调，
∴t＜-2＜t+1或t＜0＜t+1，
∴-3＜t＜-2或-1＜t＜0，
实数t的取值范围是：（-3，-2）∪（-1，0）．
故答案为：$\frac{4}{{e}^{2}}$，（-3，-2）∪（-1，0），

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．