Question

3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直线l与曲线C的交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ，可求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求出直线的普通方程，可得圆心到直线的距离，利用勾股定理求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4（sinθ+cosθ），
两边同乘以ρ，得x²+y²=4y+4x，
∴它的直角坐标方程为：（x-2）²+（y-2）²=8；
（Ⅱ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为x+y-2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2+2-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．