Question

8．已知函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值，则f（x）的极小值等于$-\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 由题意可得f′（-2）=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．求出c，然后求解函数的极小值．

解答 解：函数f（x）=x（x-c）²的导数为f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）
=（x-c）（3x-c），
由f（x）在x=-2处有极大值，即有f′（-2）=0，
解得c=-2或-6，
若c=-2时，f′（x）=0，可得x=-2或-$\frac{2}{3}$，
由f（x）在x=-2处导数左正右负，取得极大值，
若c=-6，f′（x）=0，可得x=-6或-2
由f（x）在x=-2处导数左负右正，取得极小值．不满足题意；
综上可得c=-2．
f′（x）=（x+2）（3x+2），x=-$\frac{2}{3}$时函数取得极小值，极小值为：
f（$-\frac{2}{3}$）=$-\frac{2}{3}$（$-\frac{2}{3}$+2）²=-$\frac{32}{27}$．
故答案为：$-\frac{32}{27}$．

点评 本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．