Question

18．设函数f（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-lnx，a∈R，
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{{（{a^2}-1）}}{2}m+ln2＞|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}$|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；
（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，经整理得$m＞\frac{a-3}{{{a^2}-1}}$，由3＜a＜4，从而可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，$f（x）=x-lnx，{f^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，…（1分）
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；  …（2分）
当x＞1时，f′（x）＞0．f（x）单调递增   …（3分）
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值．…（5分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=（1-a）x+a-\frac{1}{x}$=$\frac{{（1-a）{x^2}+ax-1}}{x}$=$\frac{{（1-a）（x-\frac{1}{a-1}）（x-1）}}{x}$…（6分）
当$\frac{1}{a-1}=1$，即a=2时，${f^'}（x）=-\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}≤0$，f（x）在定义域上是减函数；      …（7分）
当$0＜\frac{1}{a-1}＜1$，即a＞2时，令f′（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a-1}$或x＞1；
令f′（x）＞0，得$\frac{1}{a-1}＜x＜1$．．…（8分）
当$\frac{1}{a-1}＞1$，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{a-1}$；
令f′（x）＞0，得$1＜x＜\frac{1}{a-1}$．…（9分）
综上，当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a＞2时，f（x）在$（0，\frac{1}{a-1}）$和（1，+∞）单调递减，在$（\frac{1}{a-1}，1）$上单调递增；
1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和$（\frac{1}{a-1}，+∞）$单调递减，在$（1，\frac{1}{a-1}）$上单调递增；  …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单减，f（1）是最大值，f（2）是最小值．
∴$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（2）=\frac{a}{2}-\frac{3}{2}+ln2$…（11分）
∴$\frac{{（{a^2}-1）}}{2}m+ln2＞$$\frac{a}{2}-\frac{3}{2}+ln2$，而a＞0经整理得$m＞\frac{a-3}{{{a^2}-1}}$，…（13分）
由3＜a＜4得$0＜\frac{a-3}{{{a^2}-1}}＜\frac{1}{15}$，
所以$m≥\frac{1}{15}$．…（14分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．