Question

6．已知圆O：x²+y²=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：$\sqrt{3}$x+y-a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T
（1）若a=8，切点T（$\sqrt{3}$，-1），求点P的坐标；
（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；
（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出k_OT，k_PT，直线l和PT，求出P的坐标．
（2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线$\sqrt{3}x+y-a=0$与圆（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$，有公共点，列出不等式求解即可．
（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_OBk_OC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4{k}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}-4}$=k²，求解即可．

解答 解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，
又切点T（$\sqrt{3}$，-1），所以k_OT=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴k_PT=$\sqrt{3}$，
故直线PT的方程为y+1=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}x-y-4=0$．
联立直线l和PT，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-4=0}\\{\sqrt{3}x+y-8=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$即P（2$\sqrt{3}，2$）．
（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）²+y²=4（x²+y²-4），
即3x²+3y²-4x-20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$，
所以问题可转化为直线$\sqrt{3}x+y-a=0$与圆（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$，有公共点，
所以d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{2}{3}-a|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}≤\frac{8}{3}$，解得$\frac{-16+2\sqrt{3}}{3}≤a≤\frac{16+2\sqrt{3}}{3}$．
（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），
将它与圆方程联立并消去y得（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-4}{{k}^{2}+1}$，x₁+x₂=$\frac{-2kb}{{k}^{2}+1}$，因为则y₁y₂=$\frac{-4{k}^{2}+{b}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
故k_OBk_OC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4{k}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}-4}$=k²，
即b²（k²-1）=0，因为b≠0，所以k²=1，即k=±1．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．