Question

7．已知全集U=R，集合A={y|y=x²-$\frac{3}{2}$x+1，x∈[0，2]}，B={x|y=$\sqrt{1-|x|}$}
（I）求：∁_UA∪B；
（Ⅱ）若集合C={x|x+m²≥$\frac{1}{2}$}，p：x∈A，q：x∈C，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出集合A，B，然后利用集合的基本运算求（∁_UA）∪B；
（Ⅱ）根据条件p命题是命题q的充分条件，确定实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）集合A={y|y=x²-$\frac{3}{2}$x+1，x∈[0，2]}={y|$\frac{7}{16}$≤y≤2}=[$\frac{7}{16}$，2]，
由1-|x|≥0，解得-1≤x≤1，即B=[-1，1]，
∴∁_UA=（-∞，2）∪（$\frac{7}{16}$，+∞），
∴∁_UA∪B=（-∞，1]∪（2，+∞），
（Ⅱ）∵p：x∈A，q：x∈C，且p是q的充分条件，
∴A⊆C，
∵集合C={x|x+m²≥$\frac{1}{2}$}，
∴$\frac{1}{2}$-m²≤$\frac{7}{16}$，
∴m²≥$\frac{1}{16}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$或m≤-$\frac{1}{4}$，
∴实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）

点评 本题主要考查集合的计算，以及充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．