Question

8．在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离．
（4）求二面角O-CD-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能证明直线MN∥平面OCD．
（2）求出$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），利用向地能求出AB与MD所成角的大小．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$）上的投影的绝对值，由此能求出点B到平面OCD的距离．
（4）求出平面OCD的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角O-CD-A的平面角的正切值．

解答 证明：（1）作AP⊥CD于点P，
如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
O（0，0，2），M（0，0，1），N（1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，0），
$\overrightarrow{MN}$=（1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，-1），$\overrightarrow{op}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2），$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-设平面OCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0+$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=0，且MN?平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD．
解：（2）$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），
设AB与MD所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴AB与MD所成角的大小为$\frac{π}{3}$．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，
则d为$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$）上的投影的绝对值，
由$\overrightarrow{OB}$=（1，0，-2），得d=$\frac{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
所以点B到平面OCD的距离为$\frac{2}{3}$．
（4）平面OCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角O-CD-A的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$，sinα=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
tanα=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$．
∴二面角O-CD-A的平面角的正切值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角、二面角和点到平面的距离的能力．