Question

17．设圆C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0（t≠-1）．
（1）当t变化时，圆心C是否在同一直线上？若在同一直线上，请写出该直线方程；若不在，请说明理由；
（2）设直线l：x+y-3=0与圆C交于A，B，求弦AB的最大值；
（3）当t变化时，可得一系列圆，是否存在直线m与这些圆都相切？若存在，求出直线m的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的圆心为（t+3，t），进而可得结论；
（2）圆C的半径r=|t+1|，圆心C到直线l：x+y-3=0的距离d=$\sqrt{2}$|t|，故弦AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，结合二次函数的图象和性质，可得弦AB的最大值；
（3）存在直线m：y=-1，x=2与这一系列圆都相切，分类讨论，可得答案．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的圆心为（t+3，t），
故当t变化时，圆心C在直线y=x-3上；
（2）圆C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的半径r=|t+1|，
圆心C到直线l：x+y-3=0的距离d=$\frac{|t+3+t-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|t|，
故弦AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{-{t}^{2}+2t+1}$，
当t=1时，AB取得取最大值2$\sqrt{2}$；
（3）存在直线m：y=-1，x=2与这一系列圆都相切，理由如下：
当直线m与x轴垂直时，
设m的方程为：x=b，则|t+3-b|=|t+1|恒成立，
即t+3-b=t+1，或t+3-b=-（t+1），
解得：b=2，
即直线m的方程为：x=2；
当直线m与x轴不垂直时，
设m的方程为：y=kx+b，
则$\frac{|k（t+3）-t+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|t+1|恒成立，
即（k-1）²t²+2（k-1）（3k+b）t+（3k+b）²=（1+k²）t²+2（1+k²）t+（1+k²），
即$\left\{\begin{array}{l}（k-1）^{2}=（1+{k}^{2}）\\ 2（k-1）（3k+b）=2（1+{k}^{2}）\\（3k+{b）}^{2}=（1+{k}^{2}）\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=0\\ b=-1\end{array}\right.$
即直线m的方程为：y=-1；
综上可得：存在直线m：y=-1，x=2与这一系列圆都相切．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，二次函数的图象和性质，点到直线的距离，难度中档．