Question

7．已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x₀，y₀），且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的另一个交点为Q，当x₀=$\sqrt{2}$时，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，求动圆圆心M所在曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线得方程x²+4$\sqrt{2}$x-10=0，求出|PQ|，点O到直线l的距离，即可求△OPQ的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题知，点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线y=-1的距离，所以点M所在的曲线C是以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线…（2分）
∴曲线C的方程是：x²=4y…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有曲线C：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y'=$\frac{1}{2}$x…（5分）
当x₀=$\sqrt{2}$时，P（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），曲线C在点P的切线的斜率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6分）
所以直线l的斜率k=-$\sqrt{2}$，直线l的方程为：y=-$\sqrt{2}$ x+$\frac{5}{2}$…（7分）
设Q（x₁，y₁），
联立直线与抛物线得方程x²+4$\sqrt{2}$x-10=0…（8分）
x₀+x₁=-4$\sqrt{2}$，x₀x₁=-10，
|PQ|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{32+40}$=6$\sqrt{6}$…（10分）
又点O到直线l的距离d=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
从而可得△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$（12分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查导数知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．