Question

16．（1）在△ABC中，已知a-b=4，a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长．
（2）在锐角三角形中，边a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，角A、B满足2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出最大角为A，由余弦定理求出a的值，再求b、c的值；
（2）由题意求出角C的值，再根据根与系数的关系和余弦定理，即可求出三角形的面积．

解答 解：（1）△ABC中，a-b=4，a+c=2b，且最大角为120°，
∴b=a-4，c=a-8，A=120°；
由余弦定理得：
cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（a-4）}^{2}{+（a-8）}^{2}{-a}^{2}}{2（a-4）（a-8）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=4（不合题意，舍去）或a=14，
∴b=14-4=10，c=14-8=6；
（2）由2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，
得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，C=60°，
又∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，
又a•b=2，
∴c²=a²+b²-2a•bcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c=$\sqrt{6}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了解三角形和根与系数的关系，是综合性题目．