Question

9．已知圆C与圆D：（x-1）²+（y+2）²=4关于直线y=x对称．
（Ⅰ） 求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与圆C交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆D：（x-1）²+（y+2）²=4的圆心为点D（1，-2），半径为2，因此所求圆的圆心为点D关于x=y对称点，圆半径为2，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．
（Ⅱ）求出圆心C（-2，1）到直线l的距离d，由此利用勾股定理能求出k，从而能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆D：（x-1）²+（y+2）²=4的圆心为点C（1，-2），半径r=2，
∵圆C与圆D：（x-1）²+（y+2）²=4关于直线y=x对称，
∴圆C的半径r=2，且圆心C为点D（1，-2）关于x=y对称点，即C（-2，1），
∴圆C的标准方程为：（x+2）²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+1与圆C交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心C（-2，1）到直线l的距离为：
d=$\frac{|-2k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
且$（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}$=4，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、直线方程的性质的合理运用．