Question

4．如图，池塘的边缘为曲线段OMB，它可以近似看成是函数f（x）=x²在0≤x≤6的图象，BA垂直于x轴于点A，现要建一个以A为直角的观光站台△APQ，其中斜边PQ与曲线段OMB相切于点M（t，t²），切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，图中的阴影部分种植草坪．
（1）将△QAP的面积表达为t的函数；
（2）求草坪的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线方程，从而求出△QAP的面积；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的极大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x，所以过点M的切线的斜率为k=f′（t）=2t，…（1分）
由点斜式得切线PQ方程为y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²…①…（2分）
S_△QAP=$\frac{1}{2}$|AP|•|AQ|=$\frac{1}{2}$（6-x_p）•y_Q…②
对①令x=6得y_Q=12t-t²…③…（3分）
令y=0，得x_p=$\frac{t}{2}$…④…（4分）
③④代入②得S_△QAP=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{t}{2}$）•（12t-t²）=$\frac{1}{4}$t³-6t²+36t．…（5分）
（2）S′_AQAP=$\frac{3}{4}$t²-12t+36，…（6分）
令S′_△QAP=0，解得t=4或t=12（舍去）…（7分）

T	（0，4）	4	（4，6）
s′	+	0	-
s	增	极大值64	减

…（10分）
所以当t=4时S_△QAP有极大值64，
所以当t=4时，△QAP的面积的最大值为64．…（11分）
又${∫}_{0}^{6}$x²dx=72．…（12分）
故草坪的面积的最小值为72-64=8．…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、均值问题，考查导数的应用，是一道中档题．