Question

13．已知a为实数，函数f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（Ⅰ）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，讨论f（x）+$\frac{4}{x}$在区间（0，+∞）内零点的个数．

Answer 1

分析 （I）由已知可得f（0）=$\left\{\begin{array}{l}2a，a≥0\\ 0，a＜0\end{array}\right.$，若f（0）≤1，则2a≤1，解得：a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，f（x）+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}，x≥a\\（x-1）（x-2a）+\frac{4}{x}，0＜x＜a\end{array}\right.$，分类讨论，可得f（x）+$\frac{4}{x}$在区间（0，+∞）内零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
∴f（0）=a²+|a|-a（a-1）=$\left\{\begin{array}{l}2a，a≥0\\ 0，a＜0\end{array}\right.$，
若f（0）≤1，则2a≤1，
解得a$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}，x≥a\\（x-1）（x-2a）+\frac{4}{x}，0＜x＜a\end{array}\right.$，
则函数F（x）的图象在区间（0，+∞）上连续，
（1）当a=2时，
①若x≥2，则F（x）=${x}^{2}-3x+\frac{4}{x}$，
F′（x）=2x-3-$\frac{4}{{x}^{2}}$≥0恒成立，即F（x）为增函数，
又由F（2）=0，
故此时f（x）+$\frac{4}{x}$在区间（0，+∞）有且只有一个零点；
②若0＜x＜2，则F（x）=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$，由${x}^{2}-5x+4＞-2，\frac{4}{x}＞2$得：
F（x）＞0恒成立，
故此时f（x）+$\frac{4}{x}$在区间（0，+∞）没有零点；
（2）当a＞2时，
①若x≥a，则F（x）=$x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}$，
F′（x）=2x-（2a-1）-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0恒成立，即F（x）为增函数，
②若0＜x＜a，则F（x）=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$，由${x}^{2}-5x+4＞-2，\frac{4}{x}＞2$得：
F（x）=2x-（2a+1）-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0恒成立，即F（x）为减函数，
又由F（a）=a-a²+$\frac{4}{a}$＜0，
故此时f（x）+$\frac{4}{x}$在区间（0，+∞）有两个零点；
综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点

点评 本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．