Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA₁上的动点，A₁A=4，AB=AC=2．
（1）当F为A₁A的中点，求直线BC与平面BFC₁所成角的余弦值；
（2）当$\frac{AF}{{F{A_1}}}$的值为多少时，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

Answer 1

分析 （1）以点A为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面BFC₁的一个法向量，利用向量的数量积求解直线BC与平面BFC₁所成角的正弦值．
（2）设$F（0，0，t）（0≤t≤4），\overrightarrow{BF}=（-2，0，t），\overrightarrow{B{C_1}}=（-2，2，4）$，求出平面BFC₁的一个法向量，平面FC₁C的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角B-FC₁-C的大小．

解答 （本题满分16分）
解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，4），C₁（0，2，4），
（1）因为F为中点，则$F（0，0，2），\overrightarrow{BF}=（-2，0，2），\overrightarrow{B{C_1}}=（-2，2，4），\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面BFC₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=-2x+2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{B{C_1}}=-2x+2y+4z=0\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，…（4分）
则$cos\left?{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{-4}{{2\sqrt{2}•\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，…（6分）
所以直线BC与平面BFC₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
所以直线BC与平面BFC₁所成角的余弦值为$\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（8分）
（2）设$F（0，0，t）（0≤t≤4），\overrightarrow{BF}=（-2，0，t），\overrightarrow{B{C_1}}=（-2，2，4）$，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面BFC₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=-2x+tz=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{B{C_1}}=-2x+2y+4z=0\end{array}\right.$，取z=2，则$\overrightarrow n=（t，t-4，2）$…（11分
）$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$是平面FC₁C的一个法向量，
则$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AB}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{2t}{{2\sqrt{{t^2}+{{（t-4）}^2}+4}}}$，…（14分）
∴$|{\frac{2t}{{2\sqrt{{t^2}+{{（t-4）}^2}+4}}}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$t=\frac{5}{2}$，即$AF=\frac{5}{2}，F{A_1}=\frac{3}{2}$，
所以当$\frac{AF}{{F{A_1}}}=\frac{5}{3}$时，二面角B-FC₁-C的大小是45°．         …（16分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．