Question

10．已知命题p：函数f（x）=|4x-a|-ax（a＞0）存在最小值；命题q：关于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有实数根．则使“命题p∨?q为真，p∧?q为假”的一个必要不充分的条件是（　　）

• A． 3≤a＜5
• B． 0＜a＜4
• C． 4＜a＜5或0≤a≤3
• D． 3＜a＜5或0≤a＜3

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，求出则p假q真时的a的范围，结合集合的包含关系判断即可．

解答 解：由条件得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4-a）x-a，x≥\frac{a}{4}}\\{-（4+a）x+a，x＜\frac{a}{4}}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴-（4+a）＜0，f（x）在（-∞，$\frac{a}{4}$）上是减函数．
如果函数f（x）存在最小值，
则f（x）在[a，+∞）上是增函数或常数．
∴4-a≥0，得a≤4，
又a＞0，∴0＜a≤4，
故p为真时：0＜a≤4；
命题q：关于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有实数根，
∴△=（2a-2）²-8（3a-7）≥0，化为：a²-8a+15≥0，
解得a≤3或a≥5；
命题p∨?q为真，p∧?q为假，则p假q真，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{3＜a＜5}\end{array}\right.$，解得：4＜a＜5；
故4＜a＜5的一个必要不充分的条件是4＜a＜5或0≤a≤3，
故选：C．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质和函数的最值问题，是一道中档题．