Question

20．若S_n=cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{nπ}{7}$（n∈N^*），则在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是（　　）

• A． 16
• B． 72
• C． 37
• D． 100

Answer 1

分析 根据余弦函数的特点分析前14项的符号，得出S_n的符号规律即可得出答案．

解答 解：cos$\frac{π}{7}$＞0，cos$\frac{2π}{7}$＞0，cos$\frac{3π}{7}$＞0，
cos$\frac{4π}{7}$=-cos$\frac{3π}{7}$＜0，cos$\frac{5π}{7}$=-cos$\frac{2π}{7}$＜0，cos$\frac{6π}{7}$=-cos$\frac{π}{7}$＜0，cosπ=-1＜0，
∴S₁＞0，S₂＞0，S₃＞0，S₄＞0，S₅＞0，S₆=0，S₇＜0，
同理：S₈＜0，S₉＜0，S₁₀＜0，S₁₁＜0，S₁₂＜0，S₁₃＜0，S₁₄=0，
∴在S₁，S₂，…，S₁₄中，正数的个数为5个，
而S_14k+i=S_i，（k∈z，i=0，1，2，…13），
∴S₁，S₂，…，S₉₈中，正数的个数为5×7=35，
又S₉₉=S₁＞0，S₁₀₀=S₂＞0，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是37．
故选C．

点评 本题考查了三角函数的性质，数列的规律，属于中档题．