Question

12．已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a_n}为首项等于1、公比为q的等比数列，
（Ⅱ）根据2a₂，a₃，a₂+2成等差数列求得公比q的值，可得{a_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵S_n+1=qS_n+1 ①，
∴当n≥2时，S_n=qS_n-1+1 ②，两式相减可得a_n+1=q•a_n，
即从第二项开始，数列{a_n}为等比数列，公比为q．
当n=1时，
∵数列{a_n}的首项为1，
∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，
∴a₂ =a₁•q，
∴数列{a_n}为等比数列，公比为q．
（Ⅱ）∵2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，
∴2a₃ =2a₂+a₂+2，∴2q²=2q+q+2，求得q=2，或 q=-$\frac{1}{2}$．
根据q＞0，故取q=2，
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，以及数列的递推公式，属于中档题．