Question

15．在三棱锥P-ABC中，已知∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABC，且PA=4，则当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（　　）

• A． 8π
• B． 24π
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 三棱锥的体积为V_p-ABC=$\frac{1}{3}$×PA×S_△ABC，要使V_p-ABC取得最大，则S_△ABC 取最大值；
又由于AB²+BC²≥2AB•BC⇒AB•BC≤4，当且仅当AB=BC时取最大值，S_△ABC 的最大值为2；
所以，△ABC为等腰直角三角形，则球心O所在直线垂直过AC线段中心M，且与PA平行，即可判断球心位置．

解答 解：由题意知，PA⊥平面ABC，且PA=4；
三棱锥的体积为V_p-ABC=$\frac{1}{3}$×PA×S_△ABC，
要使V_p-ABC取得最大，则S_△ABC 取最大值；
∵∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{2}$；
∵AB²+BC²≥2AB•BC⇒AB•BC≤4；
∴S_△ABC 的最大值为$\frac{1}{2}$×4=2，当且仅当AB=BC时取最大值；
所以，△ABC为等腰直角三角形，
则球心O所在直线垂直过AC线段中心M，且与PA平行；
∵AC=2$\sqrt{2}$⇒AM=$\sqrt{2}$；
设球半径为R，则OA=OP，OM=2；
由勾股定理知：R²=$（\sqrt{2}）^{2}$+2²⇒R=$\sqrt{6}$；
外接球表面积为S=4πR²=24π；
故选：B．

点评 本题主要考查了三棱锥的体积求法，函数最值问题以及分析球心位置，属中等题．