Question

6．如图，是△ABC边长为1的正三角形，M，N分别是AB，AC边上的点，线段MN过△ABC的重心，设∠MGA=α，$\frac{π}{3}$≤α≤$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）当α=$\frac{2π}{3}$时，求MG的长；
（Ⅱ）分别记△AGM，△AGN的面积为S₁，S₂，试将S₁，S₂表示为α的函数；
（Ⅲ）设y=$\frac{1}{{{S}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{S}_{2}}^{2}}$，求y的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形重心的性质可得AG，再由正弦定理求得∠AMG，则答案可求；
（Ⅱ）由正弦定理把MG、NG用含有α的三角函数表示，代入面积公式可得S₁，S₂关于α的函数；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中的函数式代入，化简后放缩得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC边长为1的正三角形，G为△ABC的重心，
∴$AG=\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在△AMG中，$α=\frac{2π}{3}$，∠MAG=$\frac{π}{6}$，∴$∠AMG=\frac{π}{6}$，
∴MG=AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）在△AMG中，∠MAG=$\frac{π}{6}$，∴∠AMG=$\frac{5π}{6}-α$，
由正弦定理可得：$MG=\frac{AG}{sin（\frac{5π}{6}-α）}sin\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6sin（\frac{5π}{6}-α）}$，
在△ANG中，同理可得NG=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α-\frac{π}{6}）}$，
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}|MG|•|AG|•sinα=\frac{sinα}{12sin（α+\frac{π}{6}）}$；
${S}_{2}=\frac{1}{2}|NG|•|AG|•sin（π-α）=\frac{sinα}{12（α-\frac{π}{6}）}$．
（Ⅲ）由$\frac{π}{3}$≤α≤$\frac{2π}{3}$，得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sinα≤1$，
$y=\frac{1{2}^{2}}{si{n}^{2}α}[si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）+si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）]$=$144（1+\frac{1}{2si{n}^{2}α}）≥144（1+\frac{1}{2}）=216$，
当且仅当$α=\frac{π}{2}$时，y的最小值为216．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．