Question

1．已知数列{a_n}，其前n项和为S_n．
（1）若{a_n}是公差为d（d＞0）的等差数列，且{$\sqrt{{S}_{n}+n}$}也为公差为d的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}对任意m，n∈N^*，且m≠n，都有$\frac{2{S}_{m+n}}{m+n}$=a_m+a_n+$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$，求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式表示出a_n与S_n，代入验证即可确定出数列{a_n}的通项公式；
（2）令m=2，n=1确定出a₁，a₂，a₃成等差数列，再利用数学归纳法证明对于一切n≥3的自然数，数列{a_n}是等差数列即可．

解答 解：（1）根据题意得：a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=$\sqrt{n（{a}_{1}+\frac{n-1}{2}d+1）}$成等差数列，公差为d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=dn，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+1-\frac{d}{2}=0}\\{\sqrt{\frac{d}{2}}=d}\end{array}\right.$，
解得：d=$\frac{1}{2}$，a₁=-$\frac{3}{4}$，
则a_n=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{4}$；
（2）令m=2，n=1，则$\frac{2{S}_{3}}{3}$=2a₂，即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}$=a²，
整理得：a₁+a₃=2a₂，即a₁，a₂，a₃成等差数列，
下面用数学归纳法证明{a_n}成等差数列，
假设a₁，a₂，…，a_k成等差数列，其中k≥3，公差为d，
则令m=k，n=1，$\frac{2{S}_{k+1}}{k+1}$=a_k+a₁+d，
∴2Sk+1=（k+1）（a_k+a₁+d）=k（a_k+a₁）+a₁+a_k+（k+1）d=2S_k+a₁+a_k+（k+1）d，
∴2a_k+1=a₁+a_k+（k+1）d=2（a₁+kd），即a_k+1=a₁+kd，
∴a₁，a₂，…，a_k，a_k+1成等差数列，
则对于一切自然数，数列{a_n}是等差数列．

点评 此题考查了等差数列的性质，以及等差关系的确定，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．